BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika maupun pelajaran lainnya. Karenanya topik ini akan sangat berguna, di samping dapat meningkatkan daya nalar, topik tersebut akan dapat langsung di aplikasikan dalam kehidupan nyata sehari-hari dan di saat mempelajari mata pelajaran lainnya.
B. TUJUAN
Modul ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan berupa wawasan bagi mahasiswa dengan harapan dapat digunakan sebagai salah satu sumber untuk memecahkan masalah-masalah Logika Matematika.
BAB II
PENGERTIAN LOGIKA DAN PERNYATAAN
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasimereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkna suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran yang sahih atau valid.
A. PENGERTIAN LOGIKA
Secara Etimologis, Logika berasal dari bahasa Yunani ‘Logos’ yang berarti kata, ucapan pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid,correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Logika matematika juga berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.
1. Teori Korespondensi
Teori Korespondensi (the correspondence theory of truth) menunjukan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung didalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan sesungguhnya. Contohnya, “ Surabaya adalah ibukota Provinsi Jawa Timur”. Merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian, yaitu Surabaya memang benar merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo adalah ibukota Singapura” menurut teori ini akan bernilai salah karena hal-hal yang terkandung di pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataannya.
Teori-teori ilmu pengetahuan alam banyak di dasarkan pada teori korespondensi ini. Dengan demikian jelaslah bahwa teori-teori ini atau pernyataan-pernyataan ilmu pengetahuan alam akan bernilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya.
2. Teori Koherensi
Teori Koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat dinyatakan benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyatan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar, Contohnya, pengetahuan aljabar telah didasarkan dengan pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang benar tersebut disebut aksioma atau postulat.
Perhatikan pernyatan berikut:
a. Semua manusia akan mati
b. Jumlah besar suatu sudut-sudut segitiga adalah 180º
Maka baik pernyataan a maupun b akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alasan yang berbeda. Pernyataan a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta sebenarnya. Sampai detik ini belum pernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan a) tersebut akan bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat canggih senhingga akan ada orang yang tidak bisa mati lagi. Sedangkan pernyataan b) bernilai benar karena pernyataan itu konsisten dan koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati bersama kebenarannya.
BAB III
DISJUNGSI, KONJUNGSI, IMPLIKASI, BIMPLIKASI DAN NEGASINYA
Ada kalanya kita dituntut untuk menegasikan atau membuat pernyataan baru yang menunujukan pengingkaran atas pernyataan yang ada, dengan menggunakan perakit “bukan” atau “tidak”. Disamping itu mereka harus menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit “atau”,”dam”,”jika.....maka....”. maupun”.....jika dan janya jika...” yang dikenal di matematika sebagai konjungsi, disjungsi, implikasi, dan bimplikasi. Bagian ini membahas perakit-perakit tersebut.
B. PERAKIT/PERANGKAI
Perakit atau perangkai ini sering juga disebut dengan operasi. Dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat deberikan perakit “tidak”, “dan”, “atau”, “jika...maka...”, dan “... jika ...”dan hanya jika...” sehingga terbentuk suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan bimplikasi. Sub bagian ini akan membahas tentang perakit atau penggandeng tersebut.
1. Negasi
Jika p adalah “Surabaya ibukota Jawa Timur”, maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: “Surabaya bukan ibukota Jawa Timur” atau “Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Jawa Timur”.
Dari contoh diatas nampak jelas bahwa p merupakan pernyataan yang bernilai benar karena Surabaya pada kenyataannya memang ibukota Jawa Timur, sehingga ~p akan bernilai salah. Namun jika p bernulai salah maka ~p akan bernilai benar seperti ditunjukan oleh tabel kebenaran dibawah ini.
2. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “dan”.
Contohnya, pernyataan Adi berikut:
“Fahmi makan nasi dan minum kopi”
Pernyataan tersebut ekivalen dengan dua pernyataan tunggal berikut: “Fahmi makan nasi” dan sekaligus “Fahmi minum kopi”
1) Fahmi memang benar makan nasi dan minum kopi
2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi
3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi
4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi
Pada kasus pertama Fahmi memang benar makan nasi dan minum kopi. Dalam kasus seperti ini tidak mungkin anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi berniali salah. Alasannya pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataanya. Pada kasus kedua Fahmi makan nasi namun tidak minum kopi, dalam hal ini tentunya anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena meskipun Fahmi meskipun sudah makan nasi namun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sejalan dengan itu pada kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi meskipun ia sudah minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi anda akan menyatakan bahwa peryataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena Fahmi tidak makan nasi dan minum kopi. Akhirnya pada kasus keempat Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Dalam hal ini anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi bernilai salah karena tidak ada kesesuaian antara yang dinyatakan dengan kenyataan yang sesungguhnya.
Berdasarkan penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa konjungsi p ^ q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai benar sedangkan nilai kebenaran selain itu akan bernilai salah sebagaimana ditujukan pada tabel kebenaran berikut:
p | q | p ^ q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | S |
3. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit “atau”. Contohnya pernyataan Adi berikut: “Fahmi makan nasi atau minum kopi”. Sekarang bertanyalah pada diri anda sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas akan bernilai benar dalam 4 kasus berikut, yaitu: 1) Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi, 2) Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi, 3) Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi, dan 4) Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi.
Pada kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi. Dalam kasus seperti ini, tidaklah mungkin anda akan mengatakan pernyataan Adi tadi bernilai salah, karena pernyataan Adi tadi sesuai dengan kenyataannya. Pada kasus kedua, Fahmi makan nasi namun namun ia tidak minum kopi. Dalam hal ini tentunya anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi berniali benar karena Fahmi sudah benar makan nasi meskipun ia tidak minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Sedangkan pada kasus ketuga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi. Sebagaimana kasus kedua tadi, anda akan menyatakan bahwa pernyataan majemuk Adi tadi berniali benar karena meskipun Fahmi tidak makan nasi namun ia sudah minum kopi sebagaimana yang dinyatakan Adi. Akhirnya pada kasus ke empat, Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Dalam hal ini anda akan menyatakan bahwa pernyataan dengan kenyataan yang sesungguhnya. Ia menyatakan bahwa Fahmi makan nasi dan minum kopi, namun kenyataannya, Fahmi tidak melakukan hal itu.
Berdasarkan penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p ^ q akan berniali salah jiak hanya komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar sebagaimana dditujukan pada tabel kebenaran berikut:
p | q | p ^ q |
B | B | B |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
4. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukan untuk membuktikan bahwa jika p berniali benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakanlah kata “Jika” sebelum pernyataan pertama lalu diletakan juga kata “maka” diantara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga diddapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional atau hypothetical dengan notasi “ => ” seperti ini
p => q
Notasi diatas dapat dibaca dengan:
1) Jika p maka q
2) q jika p
3) p adalah syarat cukup untuk q, atau
4) q adalh syarat perlu untuk p
Implikasi p => q merupakan pernyataan majemuk yang paling sulit dipahami. Untuk memahami kalimat majemuk implikasi tersebut dapat dimulai dengan cerita bahwa Adi meyatakan pernyataan majemuk berikut ini:
Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung
Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan
q: Adi membawa payung
1) Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung. 2) Hari benar-benar hujan namun Adi tidka membawa payung. 3) Hari tidak hujan namun Adi membawa payung. 4) Hari tidak hujan dan Adi membawa tidak membawa payung.
Pada kasus pertama, Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung sebagaimana yang ia nyatakan. Bagaimana mungkin ia akan dinyatakan berbohong dalam kasus ini? Dengan demikian jelaslah bahwa kedua komponen yang sama-sama bernilai benar itu telah menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai benar. Pada kasus kedua, Hari itu benar-benar hujan akan tetapi Adi tidak membawa payung sebagaimana yang seharusnya ia lakukan seperti yang telah dinyatakannya, Bagaimana mungkin pernyataan Adi tadi akan bernilai benar? Dengan kata lain, komponen p yang bernilai benar namun tidak diikuti dengan komponen qyang seharusnya bernilai benar juga, akan menyebabkan pernyataan majemuk (implikasi) yang dinyatakan Adi tadi akan bernilai salah.
Akhirnya untuk kasus ketiga dan keempat, dimana hari itu tidak huja, Tentunya anda tidak akan menyebut pernyataan majemuk (implikasi) Adi tersebut sebagai pernyataan yang salah, karena Adi hanyalah menyatakan bahwa sesuatu akan terjadi yaitu dia akan membawa payung jikalau hari hujan. Dengan demikian jelaslah bahwa implikasi p => q hanya akan bernila salah untuk kasus kedua dimana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah, sedangkan yang selain itu impliaksi p => q akan bernilai benar sepertiditunjukan tabel kebenaran berikut ini:
p | q | p => q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
5. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ó q yang berniali sama dengan ( p => q ) ^ ( q => p ) sehingga dapat dibaca: ”p jiak dan hanya jika q” atau “ p bila dan hanya bial q”. Tabel kebenaran dari p ó q adalah:
p | q | p ó q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | B |
Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika dua pernyataan tunggalnya bernilai sama. Contoh biimplikasi:
1) Suatu segitiga adalah siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
2) Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
C.
